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フィボナッチ数列の話

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フィボナッチ

フィボナッチとは ”ボナッチの息子” という意味だそうで、そのボナッチの息子さんの レオナルド は、イタリア・ピサ生まれの数学者です。

フィボナッチ

ちなみに、レオナルドのお父さんは グリエルモ という名前で、ボナッチとは ”単純” という意味。つまりグリエルモさんは ”単純な奴” とあだ名されていたようです。

 

ウサギのつがい

レオナルドが1202年に出版した『算盤の書』の中で、ウサギのつがいの繁殖数を調べるためにある数列が使われています。この数列はインドの数学界では六世紀頃から知られていたもので、ヨーロッパにはこの『算盤の書』で初めて紹介されたため、フィボナッチの数列と呼ばれるようになりました。

 

まず、生まれたての一つがいのウサギがいるとします。この一つがいのウサギは、二ヶ月後(三ヶ月目)に一つがいの子ウサギを産み、以後ひと月ごとに一つがいづつ産んでいきます。生まれた子ウサギたちも同様に二ヶ月後から一つがいづつ産んでいくものとします。これがずっと続く時の nヶ月目のウサギの総つがい数を実際に数えていってみましょう。なお、ウサギの死や、近親交配の弊害などは考慮しません。

 

0ヶ月目はまだウサギがいないので総数は 0、

1ヶ月目は最初の一つがいが生まれて 1、

2ヶ月目も最初のつがいだけなので 1、

3ヶ月目は最初のつがいが子を一つがい産むので総数 2、

4ヶ月目は最初のつがいがまた一つがい産み前月生まれたつがいはまだ産まないので総数 3、

5ヶ月目は最初のつがいと3ヶ月目に生まれたつがいが一つがいづつ産み前月生まれたつがいはまだ産まないので総数 5、

6ヶ月目は最初のつがいと3ヶ月目・4ヶ月目に生まれたつがいが一つがいづつ産み前月生まれたつがいはまだ産まないので総数 8、

と、こんなふうにずっとやっていきますと、

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368 …

と、こんな感じになるのですが、これ、よく見てみますと、隣り合う二つの数を足したものがその右隣になっているという数列なのですね。

 

 

F_0 = 0    (最初のひとつがいが生まれる前)

F_1 = 1    (最初のひとつがいが生まれた月)

F_n = F_{n-2} + F_{n-1} (nは2以上の自然数)

 

こんな数式で表すことができます。

 

神聖比率

この数列のある数と次の数との比を出していってみると、おもしろい性質が浮かび上がってきます。

まず最初からやってみますと、

0 : 1

1 : 1

1 : 2

1 : 1.5

1 : 1.66666666…

1 : 1.6

1 : 1.625

1 : 1.61538461…

1 : 1.61904761…

1 : 1.61764705…

1 : 1.61818181…

1 : 1.61797752…

1 : 1.61805555…

1 : 1.61802575…

1 : 1.61803713…

1 : 1.61803278…

1 : 1.61803444…

1 : 1.61803381…

1 : 1.61803405…

1 : 1.61803396…

1 : 1.61803399…

1 : 1.61803398…

1 : 1.61803399…

1 : 1.61803398…

と、こんな具合になっていくのですが、これ、黄金比 と呼ばれるものに近づいていっているわけなんですね。

\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.61803398...

 

フィボナッチ数列は、松ぼっくりやヒマワリの種、パイナップルなど、自然界の現象にも出現してくるそうです。

何故なのかは分かっていないらしいです。

 

自然と数学の間には深い関係がありそうですね。
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